[Testing] Implement logging verification for web runner

Migration from https://github.com/aws/aws-durable-execution-sdk-python-testing/issues/132

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## Overview

- We have implemented a customized logger with durable execution info (ref: https://github.com/aws/aws-durable-execution-sdk-python/blob/main/src/aws_durable_execution_sdk_python/logger.py#L55).
- We should be able to verify the logging works correctly with integration tests.

## AC

- Implement a handler that checks cloudwatch logs are created correctly
- Add logging verification for logger integration tests

src/aws_durable_execution_sdk_python/logger.py で参照されているカスタマイズ済み logger から始め、既存の logger 統合テストを見つけます。CloudWatch のログを確認する handler を実装し、durable execution の logging が正しく作成されることを確認する assertion を統合テストに追加します。完了の条件は、想定される CloudWatch 出力に対する logging の検証にパスすることです。

索引モデルが issue の本文から書いたものです。