Ensure we do not call service extensions when the app may be paused

If we attempt to call a service extension while the connected app is paused and we are awaiting the response, DevTools will hang. https://github.com/flutter/devtools/pull/9162 is an example fix for one of these issues. We should audit other service extension calls in DevTools to make sure we aren't doing this elsewhere.

See comment here for context: https://github.com/flutter/devtools/pull/9162#discussion_r2070633192.

flutter/devtools#9162 の例の修正とリンクされているディスカッションから始めて、アプリが一時停止している状態の条件を理解します。次に、接続中のアプリが一時停止している可能性がある間にレスポンスを待つ呼び出しがないか、DevTools 内の他の service extension の呼び出し箇所を監査します。既存のテストで対応できる場合は適切なカバレッジを追加し、それらのケースでハングしなくなれば完了です。

索引モデルが issue の本文から書いたものです。