[Server] 알 카운트 조회 및 수정 기능

### ISSUE
* Group: `server`
* Type: `feature`
* Detail: 알을 클릭할 때마다 count가 1씩 증가하는 로직, count가 max 값이 되면 다운로드 비활성화

### TODO
1. [x] 알 카운트 조회, 수정 기능 구현
2. [x] Postman으로 확인

Start by locating the server code that handles egg clicks and the count read/update behavior; the issue names no files or tests. Confirm that each click increments the count and that downloading is disabled when the count reaches its maximum, then verify the behavior with the available API tooling.

Written by the indexing model from the issue text.